Przerobione do UserScriptu (użyj w połączeniu z TamperMonkey).
https://dl.dropboxusercontent.com/s/e61nob1uefmlep4/SaveChat.user.js
Nie było jakoś wybitnie testowane przeze mnie... ale działa.

Tutaj jest inna wersja, zrobiona dawno temu już...
Ma kilka zmiennych konfiguracyjnych wewnątrz (np. zapis cykliczny).
https://dl.dropboxusercontent.com/s/5wnxi1yvkfdawqo/SaveChatLog.user.js